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SCIENCE CENTER LIBRARY

THE. GIFT OF LILIAN MORSFORD FARLOW

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ZAHLENTHEOßlE

VERSUCH

EINER

GESAMTDARSTELLUNG DIESER WISSENSCHAFT

IN IHREN HAUPTTEILEN

VON

PAUL BAGHMANN

FÜNFTER TEIL ALLGEMEINE ARITHMETIK DER ZAHLENKÖRPER

LEIPZIG DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER

1906

ALLGEMEINE ARITHMETIK DER ZAHLENKÖRPER

DARGESTELLT

VON

PAUL BACHMANN

LEIPZIG DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER

1905

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AIXB BBCHT% XIN8CHL11ES8LICH DES OBBRSBTZITHOSKKCHTS, TOSBBHAIiTBH.

4

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RICHARD DEDEKIND

IN

DANKBARKEIT UND VEREHRUNG

GEWIDMET

Yorrede.

In Fortführang meiner Gesamtdarstellung der Zahlentheorie übergebe ich hiermit den fünften Teil derselben^ welcher die Theorie der algebraischen Zahlen zum Gegenstände hat, dem Leser^ wohl entgegen seiner Erwartung, da er berechtigt wäre, zunächst meine Arithmetik der quadratischen Formen beendet zu sehen. Aber zu mancherlei Gründen, die mich an der Aus- arbeitung des zweiten Teiles der letzteren noch immer behin- dert, gesellte sich der Wunsch, dasjenige Gebiet der Zahlen- theorie, welches als ihre höchste bisher erreichte Spitze und zugleich als ihr eigentlicher Grundstock bezeichnet werden darf und welches mit Rücksicht auf die moderne zahlen theo- retische Forschung das aktuellste Interesse darbietet, möglichst bald einem größeren Leserkreise in leicht verständlicher Dar- stellung zugänglich zu machen. So entschloß ich mich, zu- nächst wenigstens die allgemeine Arithmetik der Zahlen- körper zu veröffentlichen, diejenige spezieller Zahlenkörper einem späteren Bande vorbehaltend.

Die Geschichte dieser Disziplin geht auf Gauß zurück, der mit seiner „Erweiterung des Feldes der Arithmetik" durch Einführung der komplexen ganzen Zahlen von der Form

a + b Y— 1 den Grund zu ihr legte. In der Folge namentlich durch Kummer weiter entwickelt und durch dessen geniale Schöpfung der idealen Zahlen zu voller Entfaltung erst eigent- lich befruchtet, erhielt sie ihre allgemeine Ausgestaltung vor- nehmlich durch zwei Forscher, R. Dedekind und L.Eronecker, die ganz unabhängig voneinander und auf den verschiedensten Wegen dies Ziel erreichten. Der Erstere hat teils in einem Supplemente zu den von ihm herausgegebenen Dirichlet sehen

Vni Vorrede.

Vorlesungen über Zahlentheorie, teils in einer Reihe besonderer Arbeiten seine Theorie der algebraischen Zahlen mit gleich bewundernswertem Scharfsinn wie systematischem Aufbau ent- wickelt, Eronecker die seinige leider nur in einer lücken- haften Skizzierung ihrer Grundzüge*) in der „Festschrift zu Herrn E. E. Kummers Doktor-Jubiläum 10. Sept. 1881^', gleichwohl aber mit einer großartigen Erfassung des gesamten Gebietes der algebraischen Größen und somit weit über Dedekinds Betrachtungen hinausgehend, obwohl auch diese (s. seine gemeinsam mit Weber yeröffentlichte Arbeit über algebraische Funktionen**)) weiterer Ausdehnung föhig sind. Ursprünglich war es meine Absicht, in meinem Werk eine Art synoptischer Darstellung der Theorieen dieser beiden For- scher zu versuchen, sie, wo sie nicht zu yerschmelzen sind, doch vergleichend nebeneinander zu stellen.***) Wenn ich nun hiervon abstand und, zwischen beiden Theorieen wählend, mich prinzipiell für diejenige Dedekinds entschied, so be^ stimmte mich dazu der Gedanke, daß es für mein an sich schon so umfängliches Werk geraten sei, die Grenzen der reinen Zahlentheorie womöglich nicht zu überschreiten. Bei der aus dieser Erwägung folgenden Beschränkung auf die algebraischen Zahlen erschien es dann aber mir sachgemäßer, Dedekinds rein arithmetischen Gesichtspunkten, so weit sie reichen, zu folgen; dünkt mich doch in der Tat alsdann sein wissenschaftlicher Standpunkt korrekt, auf welchem ihm „das methodische Hilfsmittel der unbestimmten Koeffizienten^' und „die Einmischung der Funktionen von Yariabeln ein der Sache fremdes Hilfsmittel erscheint^', mit dem er sich nicht befreunden

*) Neuerdings hat J. König in seiner Einleitung in die allgemeine Theorie der algebraischen GrOßen (aus dem Ungarischen übertragen vom Verfasser) Lpzg. 1903 eine Bearbeitung der Eronecker sehen Theorie veröffentlicht und damit einem schon von Dedekind (in der Vorrede zur 4. Auflage von Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie) ge- äußerten Wunsche in sehr gründlicher Weise entsprochen.

•*) Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen, im Journal f. d. r. u. a. Math. 92, p. 181.

***) Eine sehr glückliche Vermittlung zwischen beiden Theorieen gab H. Weber in seinem Lehrbuch der Algebra, 2. Aufl., 1898/99, 2. Bd., 4. Buch.

Vorrede. EX

köune^ wahrend die rein aritlimetisclLen OrundTorstellungen Dedekinds^ die Moduln ^ die Ideale , so abstrakt sie sind, gleichwolil^ auf die einfachste Weise aus ganzen Zahlen des betrachteten Körpers gebildet^ wahrhaft ursprünglichen Charakter an sich tragen und ihn in der Theorie erweisen. Indem ich so im Aufbau meines Werkes vorzüglich auf Dedekinds Forschungen gefußt habe^ war ich doch^ um mit seinen Re- sultaten auch diejenigen anderer Forscher verschmelzen zu können y die teilweise über jene hinausgehen und mit den Hilfsmitteln Dedekinds nicht oder doch nur viel umständ- licher erreicht werden können^ genötigt, in geringem Umfange auch Eroneckersche Gesichtspunkte zu berühren und jenes Hilfsmittel der unbestimmten Koeffizienten heranzuziehen. Zur ersteren Kategorie zählt der Henselsche Nachweis von der allgemeinen Verwendbarkeit der höheren Kongruenzen zur Zer- legung der reellen ganzen Zahlen in Primidealfaktoren; hier bedarf es, um ^^den Gesetzen der Teilbarkeit wiederum Baum zur vollen Wirksamkeit zu schaffen'^*), immlich um die for- male Gleichmäßigkeit der Zerlegimg in allen Fällen zu sichern, notwendig der ^^Assoziation der Unbestimmten^' durch die Benutzung der Fundamentalform. Zur zweiten Kategorie rechnen u. a. Dedekinds Sätze über die Teiler der Diskrimi- nante, welche Hensel nach Kronecker sehr viel einfacher aus seiner Theorie der Fundamentalgleichung gewann. Doch ist eben hier jenes Kr o necker sehe Hilfsmittel nur ein be- quemes, nicht aber erforderliches, wie denn jene Sätze durch Hensel von seiner neuesten Auffassung der Theorie der alge- braischen Zahlen aus durch einen noch präziser gefaßten ersetzt worden sind. Von dieser Henselschen Theorie soll anhangs- weise dem Leser wenigstens noch soviel mitgeteilt werden, als notwendig ist, um diese genauere Fassung zu erläutern und zu begründen.

Große Förderung bei der Ausarbeitung meines Werks verdanke ich dem vortrefflichen Berichte Hilberts über „die Theorie der algebraischen Zahlkörper'' im Jahresberichte der Deutschen Mathematiker -Vereinigung v. J. 1894/95; insbeson-

*) Eronecker, Festschrift, p. 48.

X Vorrede.

dere habe ich denselben dem Schlußkapitel über den Galois- schen Zahlenkörper in wesentlichen Teilen zagrunde gelegt. Dieser Körper, obwohl er schon ein Körper speziellen Cha- rakters ist und sonach der yorbehaltenen Fortsetzung dieses Werkes zuzuweisen sein sollte, mußte hier schon zur Be- trachtung kommen kraft seiner eigentümlichen Stellung, nach der er andererseits wieder als jeden beliebigen Körper in sich enthaltend angesehen werden kann; so bildet das ihn behan- delnde Kapitel zugleich den Abschluß des gegenwärtigen und den Übergang zu dem geplanten zukünftigen Werke, dem ich auch die Hilbert sehen Untersuchungen über relativ-zyklische und andere Körper trotz ihres allgemeineren Charakters als solche über spezielle Körper zuweise.

Möchte es mir gelungen sein, die Arithmetik der Zahlen- körper, von der mit ebenso schönen wie zutreffenden Worten Dedekind rühmt, daß die Erkenntnis, die sie liefert, zu sehen, wie die ganze Mannigfaltigkeit aller möglichen Zahlenkörper von eben denselben, allgemeingültigen einfachen Gesetzen be- herrscht werde, wie die gewöhulichen ganzen Zahlen, einen hohen Grad nicht nur theoretischen, sondern geradezu ästheti- schen Interesses gewähre*) möchte es mir gelungen sein, sie klar und leicht faßlich zu gestalten und so recht Vielen den Genuß jener Erkenntnis zu vermitteln. Vielleicht daß ich den rechten Weg traf, „ohne der Systematik etwas zu vergeben, eine gemischte Methode als historisches, heuristisches und ver- gleichendes Prinzip mit gutem Erfolge zur Anwendung zu bringen/'**)

Weimar, den 21. Juli 1904.

*) Dedekind, sur la th^orie des nombres entiers alg^riques, Paris 1877, p. 104.

••) F. Meyer, Ztschr. f. Math. u. Physik 1895, histor.-liter. Abt. p. 91.

Inhaltsverzeichnis.

Erstes Kapitel.

Die Zahlenkörper. Seite

Nr. 1. Algebraische Zahlen; ihre reale Existenz 1 3

Nr. 2 u. 3. Sie bilden einen Zahlenkörper 3—7

Nr. 4. Begriff des Zahlenkörpers; Unter- und Oberkörper; der Körper B aller rationalen Zahlen ist in jedem andern enthalten. Produkt von Körpern. Rationalitäts- und Integritätsbereich; Zahlen, welche in bezug auf einen

Bationalitätsbereich di algebraisch sind 7 11

Nr. 5. Irreduktible Funktionen und Gleichungen und ihre

einfachsten Eigenschafben 11 14

Nr. 6. Die in 91 rationale Gleichung niedrigsten Grades n, der eine Zahl a genügt, ist irreduktibel und eindeutig bestimmt. Der aus a erzeugte Körper K{a\ 91), re- präsentiert durch die allgemeine Form

seiner Zahlen 14 15

Nr. 7. Rational in 91 unabhängige Zahlen. Ein Determinan- tensatz und seine Verallgemeinerungen. Bedingung für die Unabhängigkeit von n Zahlen, welche linear

durch n andere ausgedrückt sind 15—19

Nr. 8. Endliche Körper n^>^ Grades; eine Basis a>j , cd, , •, con eines solchen; die Formel

f = fj (Oj + r,ö, + r«io«, welche seine Zahlen repräsentiert. Jede solche Zahl ist eine in 9^ algebraische Zahl; ihre charakteristische Gleichung n*~ Grades; die Spur S(S)^ die Norm iV(J), einfachste Eigenschaften derselben; die Diskriminante ^(^11 tu ' ' ' M von n Zahlen, ihr Zusammenhang mit deijenigen der Basis, ihr Nichtverschwinden Be- dingung dafür, daß die eine Basis des Körpers aus- machen 19 26

Nr. 9. Die Substitutionen eines Zahlenkörpers, konjugierte Zahlen und Körper; der Körper K{cc; 91) hat n Sub- stitutionen; Galoissche Körper 26—80

XII Inhaltsverzeichnis.

Balte

Nr. 10. Der aus zwei Körpern K{a; 9%), K(Ä] fR) zusammen-

gesetzte Körper und sein Grad 30 32

Kr. 11. Allgemeiner Satz über m-wertige Zahlen. Der zusam- mengesetzte Körper hat die gleiche Form K(ß; fft) wie

seine Komponenten 33 34

Nr. 12. Jeder in ^ endliche Körper hat die Gestalt K(Ä; fR). 34—36

Nr. 13. Seine Beziehung zu irgend einem seiner Unterkörper. Die Spur Ä(t) ist die Summe, die Norm N{£) das Pro- dukt aller Konjugierten von ^ . 36 38

Nr. 14. Die Differente d{£)y die Diskriminante J{Q einer Zahl; ihr Nichtverschwinden die Bedingung dafür, daß ^ eine

Erzeugende ist 38 41

Nr. 15. Zusammenhang zwischen der Diskriminunte der den Körper K{A ; Wi) Erzeugenden A und ihrer Relativdis-

kriminante mit Bezug auf einen seiner Unterkörper . 41 43

Nr. 16. Komplementäre Basen und Beziehungen zwischen ihnen . 43—47

Nr. 17. Sütze über den aus allen Konjugierten eines Körpers zusammengesetzten Körper, über einwertige Zahlen und

symmetrische Funktionen der Konjugierten 47

Zweites Kapitel. Die Moduln«

Nr. 1. Definition eines Zahlenmodulus. Größter gemeinsamer

Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfache zweier Moduln . 49 64

Nr. 2. Produkt von Moduln, Multiplikationssätze, u. a. die Formeln

(a + b)c = oc + ^c, (a + h + c)(bc + ca -h ab) = (b + c)(c + a)(o + b).

Der Quotient zweier Moduln; der Quotient ist

a a

„eine Ordnung" o 64—57.

Nr. 3. Zahlenkongruenzen in bezug auf einen Zahlenmodulus : a ^ ß (mod. m). Einteilung der Zahlen eines Modulus a in Klassen kongruenter Zahlen (mod. b), die Anzahl (a, b) dieser Klassen und die Formeln

(a, b) = (a, a-b) = (a + b,b) und för c ^ b J»- a:

(Q, c) « (a, b)(b, c). Auflösung der Kongruenzen w ^ p (mod. a), a ^ a (mod. b); Bedingung der Möglichkeit: Q^E=a (mod. a + b), Lösung: ^ ©0 (mod. a b) 57—62

Nr. 4. Endliche Moduln m = [^i , /ii.,, ft«]. Sätze über Produkt, größten gem. Teiler, kleinstes gem. Vielfache zweier endlichen Moduln 62 66

InhaltsTerzeichnis. XTJl

Seite

Nr. 5. Jeder endliche Modulus hat eine irreduktible (aus un- abhängigen Zahlen bestehende) Basis; n-gliedrige Moduln; Bildung aller Basen eines solchen aus einer von ihnen 66—68

Nr. 6. ZusammeDhang zwischen zwei Moduln tn, m', zwischen deren Basen lineare Gleichungen bestehen; Beziehung zwischen (m, m'), (m', m) und der Determinante dieser Gleichungen 69 74

Drittes Kapitel. DiTisorengygteme. Höhere Kongmensen.

Nr. 1. Definition eines Divisoren- oder Modulsystems { <^ 9 <^t 1 ' ' f ^" } ^^B System

wo fi (x) eine ganze Funktion von x mit beliebigen Zah- lenkoefBzienten; Herleitung der Sätze über gemeinsame Teiler solcher Funktionen und ihre eindeutige Zerleg- barkeit in Primiunktionen 74 81

Nr. 2 u. 3. Das Modulsystem {p, f{x)} für den Fall gauz- zahliger Funktionen; es ist „zweiter Stufe'S Herlei- tuDg der Sätze über gemeinsame Teiler solcher Funk- tionen und ihre eindeutige Zerlegbarkeit in Prim- funktionen in bezug auf einen Primzahlmodulus p. Gemeinsamer Teiler einer Funktion und ihrer Abge- leiteten (mod. jp) 81—90

Nr. 4. Die ganzen, ganzzahligen Funktionen od = f{a) von der Wurzel einer (mod. p) irreduktibeln Funktion P{x) vom Grade n; sie zerfallen in p^ Klassen kongruenter

Zahlen (mod.^). Der Fermatsche Satz o/ ^co {mod.p). Satz über die höchste Anzahl Wurzeln einer Kon- gruenz (mod. p) 90—96

Nr. 5. Zerlegung von a^ o; in Primfunktionen (mod. p); Anzahl (n) der inkongruenten Primfunktionen n*^ Grades (mod. p) und ihr Produkt 96—101

Nr. 6. Jede Zahl a> gehört zu einem Exponenten (mod. p)^ der ein Teiler von p" 1 ; zu jedem Teiler 6 von p" 1 gehören qp(^) inkongruente co. Jede Zahl a> paßt zu einem Exponenten, der ein Teiler von n ist; zu jedem Teiler d von n passen g{d) ^= d (d) inkon- gruente (D 101 106«

Nr. 7. Die Yergleichung zwischen der (Gruppierung der Zahlen nach dem Exponenten, zu dem sie gehören, xmd nach demjenigen, zu welchem sie passen, gibt ihre Yertei-

XIY InhalteverEeichnis.

Seite

lung auf die verBchiedenen Primfaktoren von a^ x

(mod. p) 105—109

Nr. 8. Satz von Hensel über die Bedingung, daß eine ganze ganzzahlige Funktion von x^ y^ Zy - - - für alle ganz- zabligen Werte dieser Größen durch p teilbar sei . . 109—111

Viertes Kapitel. Die ganzen algebraischen Zalilen.

Kr. 1. Teiler einer ganzen algebraischen Zahl. Einheiten, assoziierte Zahlen. Im Gebiet aller ganzen algebraischen Zahlen herrscht nnbegrenzte Zerlegbarkeit 111 115

Nr. 2. Die ganzen algebraischen Zahlen des Ration ali1A>tsbe-

reiches eines Körpers 116—118

Nr. 8. Beschrankung auf Körper n^*" Grades, deren Bationa- litätsbereich derjenige der rationalen ganzen Zahlen ist. Die Gesamtheit g seiner ganzen Zahlen ist eine Ordnung. Spur, Norm, Diskriminante jeder Zahl in g ist eine rationale ganze Zahl. Einheiten in g. Zerleg- barkeit jeder Zahl in g in eine endliche Anzahl un- zerlegbarer Faktoren, doch nicht immer auf eindeutige Weise 118—122

Nr. 4. Der Begriff des Ideals. Jedes Ideal ist ein n-gliedriger Modulus. Hilfssatz : in allen Körpern n^*^ Grades sind nur endlich viel ganze Zahlen, die mit ihren Konju- gierten einen gegebenen Wert nicht übersteigen. Die Formel

0«[rii 7«.-- •» r«] 122-128

Nr. 6. Die Diskriminante '^(nt) eines Modulus m in g; die Diskriminante z/(g) (die sogenannte Grundzahl D des Körpers) ist gemeinsamer Teiler aller ^(m); Vor- zeichen von D 128 131

Nr. 6. Die aus zwei Moduln a, b in g gebildeten Moduln

a + b, a b, ah^ ; für jede „Ordnung o in g" ist

go = g; der Führer f = - der Ordnung o; er ist ein

Ö Ideal, das jedes andere in o enthaltene Ideal in sich

enthält 131—134

Nr. 7. Die Norm ^(a) = (g, a) eines Modulus a in g;

S^(0y) == ± ^(y) 134-136

9

Inhalts? eneichnifl. XY

Seite

Fünftes Kapitel.

Bie EntwieUnng der Theorie am Beispiel des qnadratiselieii Körpers erläutert.

Nr. 1. Der quadratische Körper; seine Grundzahl B;

= [1, D_+VDl 188-140

Nr. 2. Ganfi' komplexe Zahlen x -^ yY 1 als frühestes Beispiel eines algebraischen Zahlenkörpers; Jacobi und Eisenstein ontersuchen gleicherweise die Zah- len X -{- yif^ Q kubische Einheitswnrzel; weiterer Fortgang in dieser Richtung durch Dirichlet und Kummer führt auf den umstand mehrdeutiger Zer- legbarkeit 140—143

Nr. S. Erläuterung der idealen Zahlen Kummers, die hier

Abhilfe schaffen, am quadratischen Körper 144 160

Nr. 4. Versuche der Ausdehnung seiner, für den Kreistei- Inngskörper gültigen Theorie auf andere Körper. Die Grundsätze der Theorie von Selling; Zolotareff. 160 163

Nr. 6. Zusammenhang der Theorie der ganzen algebraischen Zahlen mit derjenigen der zerlegbaren Formen ; Arbeiten ▼on Dirichlet und Eisenstein 163 166

Nr. 6. Überwindung der im allgemeinen Fall auftretenden Schwierigkeiten durch Dedekinds Idealbegriff; der algebraische Divisor Kroneckers 166 160

Sechstes Kapitel. Die Aritlimetik der Körperideale.

Nr. 1. Der größte gem. Teiler, das kleinste gem. Vielfache, das Produkt zweier Ideale ist wieder ein Ideal. Jeder Faktor eines Ideals ist auch ein Teiler; ob auch um- gekehrt? 160—162

Nr. 2 . Die Frage bejaht sich bei Beschränkun g auf Hauptideale. Äquivalente Ideale; Klassen äquivalenter Ideale, ein- fachste Äquivalenzsätze. Nur das Ideal g enthält die Eins, endUch viel Ideale eine gegebene rationale ganze Zahl; jedes Ideal hat eine endliche Anzahl Teiler. . 162—168

Nr. 3. Die Frage in Nr. 1 kommt zurück auf den Kernsatz: daß für jedes Ideal j| ein anderes i vorhanden ist, für welches \y ein Hauptideal. Sein Zusammenhang mit Gauß' Funktionalsatz Disqu. Arith. art. 42. Be- weis des letztem, seine Verallgemeinerung nach Dede- kind. Aus einem speziellen Fall des verallgemei- nerten Satzes fließt (Hurwitz) der Beweis des Kern- satzes 168—174

Nr.

5

Nr.

6

Nr.

7.

Nr.

8

Nr.

9

Nr.

10,

XVI InhaltsveizeichniB.

SeiU)

Nr. 4. Ein Hilfssatz zur Herleitnng der besagten Yerallge- meinenuig und dessen zwiefache Deatnng. Die erstere

liefert einen Beweis des Funktionalsatzes 174—178

Ein zweiter Beweis (Dedekind) auf Grund der Mo- dultheorie 178—182

Neuer Beweis und Erweiterung der so gewonnenen Resultate durch Hurwitz; Satz von Hertens . . . 182—186 Direkter Beweis des Eemsatzes auf Grund der zweiten

Deutung des Hilfssatzes in Nr. 4 186 190

Hurwitz^ Herleitung desselben aus einer dem Eucli di- schen Algorithmus ähnlichen Quelle. Endliche Anzahl

der Idealklassen 190—196

Äquiyalenzsätze, welche hieraus folgen 195—198

Größter gemeinsamer Teiler algebraischer ganzer Zahlen, relative Primzahlen und auf sie bezügliche Teilbarkeitssatze 198—200

Nr. 11. Identität von Faktor und Teiler eines Ideals. Sätze über relativ prime Ideale, größten gem. Teiler und kleinstes gem. Vielfache mehrerer Ideale 200—204

Nr. 12. Primideale; Teilbarkeit durch ein solches. Jedes Ideal hat einen Primidealteiler; eindeutige Zerlegbar- keit in Primidealfaktoren 204—207

Nr. 13. Zerlegung der Zahlen; ideale Zahlen 207—209

Nr. 14. Sämtliche Teiler eines Ideals, ihre Anzahl. Bildung des größten gemeinsamen Teilers, des kleinsten ge- meinsamen Vielfachen zweier Ideale aus deren Zer- legungen. Gemeinsamer Teiler einer Zahl und eines Ideals 209—213

Nr. 15. Kongruenzen in bezug auf einen Idealmodulus. Lösung gleichzeitiger Kongruenzen (o ^ a (mod. a), a ^ ß (mod. b), ca := y (mod. c), für relativ prime Ideale a, b, c, •. Vollständiges, reduziertes Restsyatem (mod. m = abc •); die Formel

<p(m) « 9(«)9'W9'(c) für die Gliederanzahl des letztem 213—217

Nr. 16. Existenz einer Zahl o in g, für welche ab -f* d<^ =^^« ab go:=bo). Für zwei beliebige Ideale a^ h ist ^{ah) = 9fi(a)'9l(b). Ausdruck für qp(m) mittels der Idealfaktoren von m 217—221

Nr. 17. Andere Formulierung der Existenz der Zahl a. Jedes Ideal ist größter gem. Teiler zweier Hauptideale: {a, to). Beweis nach Hurwitz. Bedingung für die Gleichheit von {«,<»} und {a', ©'} 221—225

Nr. 18. Kongruenzen nach einem Primidealmodulus p. Die in p enthaltene Primzahl p; Grad f von )), definiert

InhaltsverzeichniB. XVII

Seite

dnrch ^{p) = pf. Dieser Grad ist auch die größte

Anzahl (mod. ^]j unabhängiger Baeiszahlen von p . . 225 229

Nr. 19. F er matscher Satz^ für den Fall eines Primideal-

moduluB p 229—231

Nr. 20. Höchste Anzahl Wurzeln einer Kongruenz nach solchem

Modulus. Zwei neue Definitionen für /* 231 236

Nr. 21. Theorie der höheren Kongruenzen in bezug auf einen

Primidealmodulus p 235—240

Nt. 22. Ist P(x) ^ 0 (mod. p) eine (mod. p) ineduktible Kon- gruenz f*^ Grades, so gibt es eine Wurzel ^ derselben, für welche P{q) durch p aber nicht durch p' aufgeht; jede Zahl in g ist einer ganzen, ganzzahligen Funktion ▼on Q kongruent (mod. p"^) und es ist

P= {P. P(P)} 240-246

Siebentes Kapitel. Von den DigkriminanteiiteUem.

Nr. 1. Index einer ganzen Zahl des Körpers; die Grundzahl gemeinsamer Teiler all* ihrer Diskriminanten ; wesent- liche und außerwesentliche Primteiler; Grund, wes- halb die Theorie der höheren Kongruenzen zur Be- gründung der Idealtheorie nicht ausreichte 247 249

Nr. 2. Hilfsbetrachtungen über ganze Funktionen von Un- bestimmten und ihre Zerlegung (mod. p) 250 251

Nr. 8. Inhalt einer Form. Satz über den Inhalt eines Pro- duktes. Einheitsformen 251 254

Nr. 4. Norm einer Form; Einheitsformen sind Formen mit

der Norm Eins. Äquivalenz von Formen 254 257

Nr. 5. Die Norm einer Form ist gleich der Norm des Ideals,

das deren Inhalt bildet . 257—259

Nr. 6 u. 7. Die niedrigste Kongruenz in bezug auf einen Primidealmodulus )), welcher die Fundamentalform u?^ des Körpers genügt; sie ist vom Grade der Funda- mentalgleichung ¥{w) 0; Zerlegung von F(w) in Primfunktionen (mod. p) ; die Äquivalenz p r^p e-^-^ {w^) ; Zerlegung von p in Primidealfaktoren 259 271

Nr. 8. Bedingung, daß p gemeinsamer außerwesentlicher Teiler sei, in doppelter Fassung: nach Hensel und nach Dedekind 271—276

Nr. 9. Entscheidung darüber, ob p im Index einer Zahl auf- geht (Dedekind) 276—280

Nr. 10. Nachweis eines Körpers, in welchem ein gemeinsamer

außerwesentlicher Teiler vorhanden ist (Dedekind) . 280—284

Baohmann, Zahleniheorie. ▼. b

XVill Inhaltsverseiolinis.

Seite

Nr. 11. Eine von Hensel gegebene Bestätigung derselben

Tatsache; Satz über p = A* + 21 B^ 284—287

Nr. 12. Ergänzungskörper (mod. p) , Nachweis ihrer Existenz,

der Ergänzungskörper niedrigsten Grades 287 292

Nr. 13. Hensels Herleitung des Satzes von Dedekind über die Zusammensetzung der Grundzahl aus Primfak- toren; seine unbestimmtere Fassung 293 295

Nr. 14. Herleitung dieser letzteren nach Dedekind .... 295—303

Nr. 15 18. Dedekinds Begründung des genaueren Satzes; die Ordnung

o==[i, ö, ö«, ..., ö«-^]

und ihr Führer f ; Bedingung, daß f durch ein Prim- ideal p nicht teilbar; es gibt eine Erzeugende 0, für welche f durch p nicht teilbar ist. Sätze über komplementäre Moduln. Das Grundideal; seine Norm die Grundzahl; Zusanmiensetzung derselben aus Primidealen bez. w. Primzahlen. Das Grundideal ist der Differente der Fundamentalform äquivalent . . . 303 321

Achtes Kapitel. Ton den Einheiten.

Einleitende Bemerkungen über die Dirichletsche

Theorie der Einheiten 321—323

Nachweis einer Zahl o in einer gegebenen Ordnung 0, welche nebst ihren Konjugierten gewisse Ungleich- heiten erfüllt 323—329

Nachweis einer Einheit s der Ordnung mit positiver

Norm von bestimmter Beschaffenheit 329 331

Nachweis eines Systems von unabhängigen Ein- heiten 331—333

Minkowskis Begründung desselben auf einen ein- fachen Determinantensatz 333—335

DeBselben Satz von n linearen Funktionen mit n Un- bestimmten als Grundlage der Einheitentheorie; sein Beweis nach Hurwitz 335—341

Nr. 7. Die Grundzahl eines (vom Bereich der rationalen Zahlen verschiedenen) Körpers ist größer als Eins; nur endlich viel Körper n***" Grades haben die gleiche Grundzahl 841—345

Nr. 8. Nachweis eines Systems unabhängiger Einheiten auf

Grund von Nr. 6 345—348

Nr. 9. Reduzierte Einheiten bez. eines jeden solchen Systems; jede Einheit ist als Produkt rationaler Potenzen der unabhängigen darstellbar 348 353

Nr.

1.

Nr.

2.

Nr.

3.

Nr.

4.

Nr.

5.

Nr.

6.

Inhaltsverzeichnis. XIX

Seite

Nr. 10. System von Fundamentaleinheiten; die bez. reduzierten Einheiten sind die Einheitswurzeln der Ordnung; Zusammensetzxmg jeder Einheit aus diesen und aus ganzen Potenzen der Fundamentaleinheiten. Regulator der Ordnung 354 368

Nr. 11. Minkowskis Bemerkung über „niedrigste Zahlen^*

und ihre Benutzung zur Bestimmung aller Einheiten. 368 360

Neuntes EapiteL

Ideale einer Ordnung nnd die Anzahl ihrer Klassen.

Nr. 1. Ideale t einer Ordnung o, ihre Norm; Bedingung i -f f = 0. Größter gem. Teiler, kleinstes gem. Viel- fache, Produkt zweier Ideale in o sind wieder solche. 360 366

Nr. 2. Eindeutige Beziehung zwischen den Idealen in o und den zu f primen Eörperidealen \. Nachweis daß die Begriffe „Faktor^^ und „Teiler^^ eines Ideals in o identisch sind; hieraus folgen die gleichen Teilbar- keitsgesetze für die Ideale in o, wie für Eörperideale . 365 370

Nr. 3. Die Äquivalenz der Ideale wird jetzt zunächst filr EOrperideale enger gefaßt. Einfluß auf die Anzahl der Idealklassen. In jeder Klasse ist ein Ideal, das zu einem beliebig gegebenen prim ist 370 374

Nr. 4. Neuer Nachweis, daß die Anzahl der Idealklassen

endlich ist 874—377

Nr. 5. Darstellung aller Idealklassen mittels fundamentaler . 377 381

Nr. 6. Bestimmung der Anzahl der Idealklassen des Körpers

nach den analytischen Methoden von Dirichlet . . 381 390

Nr. 7 9. Ihr Ausdruck durch die Punktion

andere Formen und Verallgemeinerung der letzteren . 390 397 Nr. 10. Die Äquivalenz der Ideale in o; Elassen solcher

Ideale 397—400

Nr. 11. Bestimmung ihrer Anzahl auf analytischem Wege. . 400 404 Nr. 12. Vergleichung derselben mit der Idealklassenanzahl

des Eörpers 404—407

Nr. 18 16. Herleitung derselben Anzahl auf dem Gaußischen

Wege der Zusammensetzung der Klassen 407 420

XX Inhaltsverzeichnifl.

Seite

Zehntes Kapitel. Die zerlegbaren Formen.

Nr. 1. Definition der zerlegbaren Formen eines Körpers;

ihre Diskriminante 420—423

Nr. 2. Verhältnis derselben zur Grundzahl B des Körpers. Jede zerlegbare Einheitsform des Körpers, deren Grundzahl gleich D, entspringt einem Ideale des Körpers, und umgekehrt 424—427

Nr. 8. Die durch eine zerlegbare Einheitsform des Körpers darstellbaren rationalen ganzen Zahlen; Darstellungs- gruppen 428—430

Nr. 4. Jeder Idealklasse des Körpers entspricht eine bestimmte Formenklasse mit der Determinante D; ob auch um- gekehrt? 430—434

Nr. 5. Der Multiplikation der Ideale bez. w. der Zusammen- setzung ihrer Erlassen entspricht die Zusammensetzung jener Formen bez. w. ihrer Klassen 434 437

Nr. 6. Jedem Ideale in o entspringt eine zerlegbare Form des Körpers mit der Diskriminante 91 (o)'- D. Nach- weis, daß diese Form eine Einheitsform, auf Grund eines Dedekind sehen Satzes über Ideale in o. Formen, welche Moduln entspringen; Äquivalenz von Moduln, eine Invariante der Modulklasse 437—448

Elftes Kapitel. Unterkörper nnd Oberkörper.

Nr. 1. Jedes Ideal eines Unterkörpers l stellt auch ein Ideal des Oberkörpers ^ dar; wann auch umgekehrt? Neue

Definition der Norm eines Ideals 443 446

Nr. 2. Der Körper J^ als Relativkörper zu !; relativ Kon- jugierte; Relativnorm einer Zahl, eines Ideales; Re- lativdifferente und Relativdiskriminante einer Zahl; die Elemente des Relativkörpers, seine Relativdifi^erente

und -diskriminante 446 460

Nr. 3. Zusammenhang zwischen den letzten beiden .... 461 462

Nr. 4. Ihr Zusammenhang mit den Diskriminanten von t

und Ä 452—466

Nr. 5. Formel zwischen den Differenten von f und 1^ und

der Relativdifferente von Ä 455 467

Nr. 6. Zusammensetzung der Diskriminante eines aus zwei Körpern zusammengesetzten Körpers aus den Dis- kriminanten jener beiden. Spezielle Fälle 467 468

Inhaltsverzelohnis. XXI

^r. 7—9. Genauere Untersuchung dieser Zusammensetsrang durch Hensel für den Fall, daß der Grad des sa- sammengesetzten Körpers das Produkt aus den Graden der zusanunensetzenden ist, auf Grund eines beson- deren „Fundamentalsystems ganzer Zahlen des Körpers (mod. py\ welches als „normales Fundamentalsystem^^ charakterisiert wird 469—470

Zwölftes Kapitel. Der GaloiBsehe Körper.

Nr. 1. Die erzeugende Gleichung ist eine Galoissche; die Substitutionen des Körpers bilden eine Gruppe G. Abel sehe, zyklische Körper und -Relativkörper. . . 471 476

Nr. 2. Direkte Begründung der Idealtheorie eines Galois-

sehen Körpers §t vom N*^ Grade nach Hilbert. . . 476—478

Nr. 8. Begründung der Idealtheorie eines beliebigen Körpers

auf diejenige des Galois sehen 478—480

Nr. 4. Die Differente des Galois sehen Körpers ist ein „in- variantes^' Ideal desselben, und seine Diskriminante die N*^ Potenz der ersteren 480 482

Nr. 6. Eindeutige Zuordnung zwischen den Untergruppen von G und den Unterkörpern von St. Der Zerlegungs- körper ig von St und die Zerlegungsgruppe g^ für das Primideal $. Trägheitskörper !^ und Trägheits- gruppe Qf . 482—484

Verhältnis zwischen g^ und g^. Zerlegung der in $ enthaltenen Primzahl p in ihre Primidealfaktoren in St. 484 488 Beziehung zwischen irgend einer Untergruppe g und

den Gruppen g,^ gt 488—491

Die Primidealfaktoren p der Primzahl p im ent- sprechenden Unterkörper f in Beziehung zu ihren

Primidealfaktoren in ft 401—499

Anwendung dieser allgemeinen Betrachtung auf die

Fälle !«!,,!«:!, 499—601

Yerzweigungskörper t^ und Verzweigungsgruppe g^;

Zerlegung von p in l^ 601 608

Einmal Überstrichener Verzweigungskörper ftr bez. w. -Gruppe gf. Zerlegung von p in diesem Körper . . 608 612 Ausdehnung der Resultate auf mehrfach überstrichene Verzweigungskörper. Eleganter algebraischer Folge- satz 612—616

Nr. 13. Die Reihe der ineinander geschachtelten Untere

Nr.

6.

Nr.

7.

Nr.

8.

Nr.

9.

Nr.

10.

Nr.

11.

Nr.

12.

XXTT InhaltsTerzeichnis.

Seit«

kOrper f^^ f^, I^, - von St gestattet im Verein mit dem Satze Kap. 11, Nr. 5, die Potenz von $ bez. w, Ton p festzustellen, welche in der Differente resp. Diskriminante von St enthalten ist 616 618

Nr. 14. Im Galoisschen Körper kann nach Minkowski das System unabh&ngiger Einheiten der Dirichlet-

.... . sehen Theorie als ein System kox^ugierter Einheiten

gewählt werden 618—621

Anhang. Reihenentwicklang der Zahlen.

Nr. 1. Entwicklung der Zahlen eines KOrpers K{to) mit Bezug auf eine beliebig hohe Potenz ^ eines Primideals als Modulus in Potenzreihen 622—628

Nr. 2. Grundlage der neuesten Hen sei sehen Theorie der

algebraischen Zahlen 628—632

Nr. 8. Der Abbildungskörper von K{(o) (mod. «ß»») 582—636

Nr. 4. Die Yerzweigungsdiskriminante ; höchste darin enthal- tene Potenz der dem Ideale $ angehörigen Primzahl p, Yerzweigungszahl 636—689

Nr. 6. Die Abbildungskörper der Eo]\jugierten zu K{<o); sie

bilden eine Anzahl Systeme konjugierter Körper . . 689 642

Nr. 6. Bestimmung der höchsten Potenz von p^ welche in der Grundzahl ron K{(o) aufgeht, mittels der den ein- zelnen Verzweigungsdiskriminanten entsprechenden Verzweigungszahlen 642 546

Bemerkungen 646 648

Erstes Kapitel. Die ZaUenkörper.

1. Die Orundlage jeder Bechnong ist die Reihe der nattlr< liehen^ d. i. der positiven ganzen Zahlen, denen jedoch schon, um in allen Fallen die Subtraktion zu ermöglichen, die Null und die negativen ganzen Zahlen hinzuzuf&gen sind. Weiter aber nötigen bereits die einfachsten Probleme, nämlich die Auflösung von Gleichungen ersten Grades dazu, auch die ge- brochenen Zahlen in die Rechnung zuzulassen, welche dann zu- sammen mit den ganzen das Gebiet der rationalen Zahlen ausmachen. Doch auch diese reichen für die höheren Bedürf- nisse der Rechnung nicht aus. Vielmehr führt die Auflösung der Gleichung zweiten Grades mit beliebigen rationalen Koeffi- zienten, d. i. der Gleichung

mittels der Formel

_ M- 1/6" 400"

2a

wieder zwei neue Gattungen von Zahlen herbei, so oft die Zahl d=W Aittc keine Quadratzahl ist. Wenn nämlich in dieser Voraussetzung d positiv ist, so ist der Ausdruck yd keiner rationalen Zahl gleich also irrational, und kann dann arithmetisch vermittels des Grrenzbegriffs, etwa als gemein- «amer Grenzwert zweier unbegrenzter, gegen einander konvergie- render Reihen rationaler Werte erfaßt werden; derselbe Grenz- begriff ermöglicht femer die Feststellung des Gebietes der reellen Werte, welches die sämtlichen rationalen und irra- tionalen Zahlen umschließt. Ist dagegen d =^ 8 eine negative Zahl, so findet sich nicht einmal in diesem erweiterten Zahlen- gebiete eine der Quadratwurzel aus d gleiche Zahl, da ihm viel-

B»c]|mann, Zahlentheorie. V. 1

2 Erstes Kapitel.

mehr nur y^ angehört^ und man findet y^«»i-]/d; wo i = y 1 die sogenannte imaginäre Einheit ist^ und wird auf solche Weise in das Gebiet der imaginären und noch allgemeiner in dasjenige der komplexen Zahlen geführt^ welche, aus einem reellen und einem imaginären Bestand- teile zusammengesetzt, von der Form cc + ßi sind. Daß hier- bei dem Zeichen )/— 1 eine reale, anschauliche Bedeutung bei- gelegt werden kann, hat zuerst Gauß in genialer Weise er- kannt; aber auch ein rein arithmetischer Sinn laßt sich mit ihm yerbinden, indem man jede Beziehung zwischen kom- plexen Zahlen als eine Kongruenz au£bssen darf, die aus ihr hervorgeht, wenn man darin )/— 1 durch eine Unbestimmte u ersetzt und u' -|- 1 zum Modulus wählt (Eronecker).

Geht man nun weiter zu den allgemeinen Gleichungen dritten und vierten Grades mit rationalen Koeffizienten, deren algebraische Auflösbarkeit Gardano und Ferrari gelehrt haben, so geben deren Wurzelausdrücke keinen Anlaß zur Ein- fOhrung neuer Zahlengattungen. Auch die Wurzeln binomischer Gleichungen beliebiger Grade, insonderheit die Wurzeln der Gleichung ic" =■ 1, nämlich die Werte

2%n . . 2x9r X COS h * 8111

n n

(für X = 0, 1, 2, •, n - 1),

gehören dem Gebiete der komplexen Zahlen an. Die nicht bino- mischen Gleichungen höheren als des vierten Grades, d. h. die Gleichungen von der Form

(1) af + a^af'^ + o^a:"-» + + a„_i x + a^^O,

(n>4),

WO der Koeffizient des höchsten Gliedes stets als Eins gedacht werden darf und soll, wahrend ftr die übrigen beliebige rationale Werte vorausgesetzt werden, sind zwar, wie Abel ge- zeigt hat, nicht mehr immer algebraisch auflösbar; aber wir verdanken wieder Gauß den ersten strengen Nachweis der Tatsache, daß auch eine jede solche Gleichung im Gebiete der komplexen Zahlen eine Wurzel besitzt und daß somit die ganze Funktion, welche ihre linke Seite bildet, in n Linear- faktoren zerfällt werden kann:

Die Zahlenkörper. 3

(2) ic« + Oja^-* H \-a^^(x a) (a; a<^)) (ic - «('- *)),

während «, «',•••«(""*) endliche komplexe Zahlen bedeuten. Ans solcher Identität ergeben sich unmittelbar die Beziehungen:

a + a<^) + «W H + «<"-*> =• - «1 ,

(3)

nach denen die einfachsten symmetrischen ganzen Funktionen von den Wurzeln der Gleichung (1) den mit passenden Vor- zeichen genommenen Koeffizienten der letzteren gleich sind.

Dieser 6 au ß sehe Fundamentalsatz ^) bildet neben den elementarsten Sätzen der Determinantentheorie die einzige aber auch unentbehrliche algebraische Grundli^e der folgenden Betrachtungen^ insofern erst durch ihn deren reale Bedeutung, nämlich die Existenz der Größen, deren Theorie wir zu ent- wickeln unternehmen, ge^t^Uirleistet wird.

Wir bezeichnen nämlich jetzt jede Wurzel einer Gleichung beliebigen Grades n von der Form (1) mit rationalen Koeffizienten als eine algebraische Zahl, und werden die Eigenschaften der so definierten Zahlen unter- suchen. Sind insbesondere die Koeffizienten der Gleichung ganze Zahlen, so werden die durch sie definierten alge- braischen Zahlen auch ganze algebraische Zahlen, oder, wo kein Mißverständnis zu befürchten ist, kurz ganze Zahlen genannt werden; bei solcher abgekürzten Bezeichnung sind dann aber die gewöhnlichen ganzen Zahlen, welche die ein- fachste Art jener Zahlen bilden, zum Unterschiede deutlicher als rationale ganze Zahlen zu kennzeichnen.

2. Das Erste, was hier festgestellt werden soll, ist der folgende Satz:

Sind a, ß zwei (identische oder verschiedene) al

gebraische Zahlen, so sind auch oc + ß, a ß, «•/?,-?-

d. i. Summe, Differenz, Produkt und Quotient der- selben, falls in letzterem der Nenner von Null ver-

1) Der übrigens auch fdr beliebige komplexe a^ gilt.

1*

(4)

4 Erstes Kapitel.

schieden ist; algebraische Zahlen.^) In der Tat, sind a^ ß als Wurzeln der beiden Gleichungen

a?« + ÄiSir-^+ A^af^-^ H + ^„ - 0

af + B^af-^ + B^af'^ + . . + J?« =0

resp., deren Koeffizienten rationale Zahlen sind, bestimmt, so setze man mn^p und bezeichne mit cd^, cog^ * * -^ co^ die p Pro- dukte a^ß*', welche den Exponenten

fi - 0, 1, 2, . . •, m 1; V - 0, 1, 2, . . •, n - 1

entsprechen. Dann läßt sich, wenn unter o zunächst eine der Zahlen cc + ß, a ß, a - ß verstanden